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二叉树遍历(递归、非递归、Morris遍历)

二叉树遍历是二叉树中最基本的问题,其实现的方法非常多,有简单粗暴但容易爆栈的递归算法,还有稍微高级的使用栈模拟递归的非递归算法,另外还有不用栈而且只需要常数空间和线性时间的神奇Morris遍历算法,本文将对这些算法进行讲解和实现。

递归算法

二叉树节点使用以下数据结构进行表示,包括关键字、左儿子、右儿子属性和一个带默认参数的构造函数。
struct成员的默认属性为public,于是可以直接访问。

struct Node
{
	int val;
	Node *left, *right;
	Node(int v = 0, Node *l = NULL, Node *r = NULL) : val(v), left(l), right(r) {}
};

二叉树的递归算法非常简单,设置好递归出口之后,根据遍历的顺序,对当前节点的左右子递归调用自身即可。其前序、中序、后序遍历的代码如下。

void preorder1(Node *root) //递归前序遍历
{
	if (root == NULL) return;
	printf("%d ", root->val);
	preorder1(root->left);
	preorder1(root->right);
}

void inorder1(Node *root) //递归中序遍历
{
	if (root == NULL) return;
	inorder1(root->left);
	printf("%d ", root->val);
	inorder1(root->right);
}

void postorder1(Node *root) //递归后序遍历
{
	if (root == NULL) return;
	postorder1(root->left);
	postorder1(root->right);
	printf("%d ", root->val);
}

栈模拟非递归算法

递归算法的本质是利用函数的调用栈进行,实际上我们可以自行使用栈来进行模拟,这样的算法空间复杂度为O(h),h为二叉树的高度。

前序遍历

首先把根节点入栈,然后在每次循环中执行以下操作:

  • 此时栈顶元素即为当前的根节点,弹出并打印当前的根节点。
  • 把当前根节点的右儿子和左儿子分别入栈(注意是右儿子先入栈左儿子后入栈,这样的话下次出栈的元素才是左儿子,这样才符合前序遍历的顺序要求:根节点->左儿子->右儿子)。

下面是代码实现。

void preorder2(Node *root)//非递归前序遍历
{
	if (root == NULL) return;

	stack<Node *> stk;
	stk.push(root);
	while (!stk.empty())
	{
		Node *p = stk.top(); stk.pop();
		printf("%d ", p->val);
		if (p->right) stk.push(p->right);
		if (p->left) stk.push(p->left);
	}
}

后序遍历

因为后序遍历的顺序是:左子树->右子树->根节点,于是我们在前序遍历的代码中,当访问完当前节点后,先把当前节点的左子树入栈,再把右子树入栈,这样最终得到的顺序为:根节点->右子树->左子树,刚好是后序遍历倒过来的版本,于是把这个结果做一次翻转即为真正的后序遍历。而翻转可以通过使用另外一个栈简单完成,这样的代价是需要两个栈,但就复杂度而言,空间复杂度仍然是O(h)。

void postorder2(Node *root)//非递归后序遍历
{
	if (root == NULL) return;

	stack<Node *> stk, stk2;
	stk.push(root);
	while (!stk.empty())
	{
		Node *p = stk.top(); stk.pop();
		stk2.push(p);
		if (p->left) stk.push(p->left);
		if (p->right) stk.push(p->right);
	}
	while(!stk2.empty())
	{
		printf("%d ", stk2.top()->val);
		stk2.pop();
	}
}

中序遍历

中序遍历稍微复杂,使用一个指针p指向下一个待访问的节点,p初始化为根节点。在每次循环中执行以下操作:

  • 如果p非空,则把p入栈,p变为p的左儿子。
  • 如果p为空,说明已经向左走到尽头了,弹出当前栈顶元素,进行访问,并把p更新为其右儿子。

下面是代码实现。

void inorder2(Node *root)//非递归中序遍历
{
	stack<Node *> stk;
	Node *p = root;
	while (p != NULL || !stk.empty())
	{
		if (p != NULL)
			stk.push(p), p = p->left;
		else
		{
			p = stk.top(); stk.pop();
			printf("%d ", p->val);
			p = p->right;
		}
	}
}

Morris遍历

Morris遍历的神奇之处在于它是非递归的算法,但并不需要额外的O(h)的空间,而且复杂度仍然是线性的。这样的算法最关键的问题是当访问完一棵子树后,如何回到其对于的根节点再继续访问右子树呢?Morris是通过修改二叉树某些节点的指针来做到的。

中序遍历

按照定义,在中序遍历中,对于一棵以root为根的二叉树,当访问完root的前驱节点后,需要回到root节点进行访问,然后再到root的右儿子进行访问。于是,我们可以每次访问到一棵子树时,找到它的前驱节点,把前驱节点的右儿子变为当前的根节点root,这样当遍历完前驱节点后,可以顺着这个右儿子回到根节点root。

但问题是修改了该前驱节点的右儿子后什么时候再改回来呢?

  • 当第一次访问以root为根的子树时,找到它的前驱pre,此时pre的右儿子必定为空,于是把这个右儿子设置为root,以便以后根据这个指针回到root节点。
  • 当第二次回到以root为根的子树时,再找到它的前驱pre,此时pre的右儿子已经被设置成了当前的root,这时把该右儿子重新设置成NULL,然后继续进行root的右儿子的遍历。于是完成了指针的修改。

在这样的情景下,寻找当前节点的前驱节点时,不仅需要判断其是否有右儿子,而且还要判断右儿子是否为当前的root节点,跟普通情况下的寻址前驱节点稍微多了一个条件。

由于在每次遍历一个节点的时候都需要寻找其前驱节点,而寻找前驱节点的时间一般与树的高度相关,这样看上去算法的复杂度应该为O(nlogn)才对。但由于其只需要对有左儿子的节点才寻找前驱,于是所有寻找前驱时走过的路加起来至多为一棵树的节点数,例如在下文的例子中,只需要对以下节点寻找前驱:

  • 节点4:寻找路径为:2-3
  • 节点2:寻找路径为:1
  • 节点6:寻找路径为:5

于是寻找前驱加上遍历的运算量之和至多为2*n,n为节点个数,于是算法的复杂度为仍然为O(n)。

其实现代码如下:

void inorder3(Node *root)//Morris中序遍历
{
	Node *p = root;
	while (p != NULL)
	{
		if (p->left == NULL)
			printf("%d ", p->val), p = p->right;
		else
		{
			Node *pre = p->left;
			while (pre->right != NULL && pre->right != p)
				pre = pre->right;

			if (pre->right == NULL) //第一次访问,修改pre的右儿子
				pre->right = p, p = p->left;
			else                    //第二次访问,改回pre的右儿子
				pre->right = NULL, printf("%d ", p->val), p = p->right;
		}
	}
}

前序遍历

前序遍历和中序遍历类似,只是在遍历过程中访问节点的顺序稍有不同。即在第一次访问一棵子树时,就要先对根节点进行访问,于是printf输出语句被放到了if判断中第一次访问的分支中。

其代码如下:

void preorder3(Node *root)//Morris前序遍历
{
	Node *p = root;
	while (p != NULL)
	{
		if (p->left == NULL)
			printf("%d ", p->val), p = p->right;
		else
		{
			Node *pre = p->left;
			while (pre->right != NULL && pre->right != p)
				pre = pre->right;
			
			if (pre->right == NULL) //第一次访问,修改pre的右儿子
				pre->right = p, printf("%d ", p->val), p = p->left;
			else                    //第二次访问,改回pre的右儿子
				pre->right = NULL, p = p->right;
		}
	}
}

后序遍历

后序遍历稍微复杂,但其遍历的基本顺序也是和前/中序遍历类似,只是在打印的时候做了一个翻转。考虑下文例子中的后序遍历结果:1 3 2 5 7 6 4。其可以这样进行拆分并进行解释:

  • 1:最左下角的结果节点
  • 3 2:节点2、3的倒序
  • 5:右儿子的最左下角的节点
  • 7 6 4:右边一列节点4、6、7的倒序

于是我们可以在中序遍历过程中,当第二次访问到一个节点时,把它的左儿子到它的前驱节点的路径上的节点进行翻转打印,即可得到后序遍历的结果。但这样的话根节点到最右下角那一列会访问不到,增加一个辅助节点作为新的根节点,把原有根节点作为其左儿子即可。

其实现代码如下:

void reverse(Node *p1, Node *p2)//使用right指针翻转p1到p2节点
{
	if (p1 == p2) return;

	Node *pre = p1, *p = p1->right;
	while (true)
	{
		Node *tem = p->right;
		p->right = pre;
		if (p == p2) break;
		pre = p, p = tem;
	}
}

void print(Node *p1, Node *p2)//逆序打印p1到p2节点
{
	reverse(p1, p2);
	for (Node *p = p2; ; p = p->right)
	{
		printf("%d ", p->val);
		if (p == p1) break;
	}
	reverse(p2, p1);
}

void postorder3(Node *root)//Morris后序遍历
{
	Node dummy(-1, root, NULL), *p = &dummy;
	while (p != NULL)
	{
		if (p->left == NULL)
			p = p->right;
		else
		{
			Node *pre = p->left;
			while (pre->right != NULL && pre->right != p)
				pre = pre->right;

			if (pre->right == NULL)
				pre->right = p, p = p->left;
			else
				pre->right = NULL, print(p->left, pre), p = p->right;
		}
	}
}

代码测试

在下面的主函数中,我们对以下简单的二叉树进行测试。

     4
   /   \
  2     6
 / \   / \
1   3 5   7

主函数代码如下:

#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;

int main()
{
	Node a1(1), a3(3), a5(5), a7(7);
	Node a2(2, &a1, &a3), a6(6, &a5, &a7);
	Node a4(4, &a2, &a6);

	preorder1(&a4); printf("\n"); //4 2 1 3 6 5 7
	preorder2(&a4); printf("\n"); //4 2 1 3 6 5 7
	preorder3(&a4); printf("\n"); //4 2 1 3 6 5 7
	printf("\n"); 

	inorder1(&a4); printf("\n"); //1 2 3 4 5 6 7
	inorder2(&a4); printf("\n"); //1 2 3 4 5 6 7
	inorder3(&a4); printf("\n"); //1 2 3 4 5 6 7
	printf("\n"); 

	postorder1(&a4); printf("\n"); //1 3 2 5 7 6 4
	postorder2(&a4); printf("\n"); //1 3 2 5 7 6 4
	postorder3(&a4); printf("\n"); //1 3 2 5 7 6 4
}
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  1. 首先感慨一下 Morris 算法的奇妙。然后,指出 3 处问题?:
    1. 以栈实现非递归后序遍历,你的code空间复杂度是O(n);相比较而言,后序非递归遍历实现更复杂些,不过你的顺序颠倒的思路很有意思 ¥¥
    2. Morris 遍历以时间换空间,计算量是 <= 3*n 才对,寻找前驱及判断是否已经指向root,要花费 2*n 的时间……
    3. Morris 后序遍历,翻转二叉链表时,应该把起点的right指针置空,否则翻转结果含有环,破坏了树原有的结构
    ==> p1->right = NULL;

    • 再加一点,基本上 Morris 是线索二叉树的简化处理;如果遍历这类操作频繁的话,Morris 的时间上开销比较大;比较而言,而二叉树的线索化跟适合。

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